Incertitude

L’incertitude

Qu’est-ce qui est incertain en économie ?

• Futurs prix
• Future richesse
• Technologie future
• Actions des autres agents...
• ...

La plupart des individus n’aiment pas l’incertitude et se couvrent :

• Assurance.
• Portefeuilles financiers.

État de la nature

États de la nature possible:

• “accident de voiture” (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a} )
• “pas d’accident de voiture” ($na$).

L’accident arrive avec une proba. $p$, rien ne se passe avec la probabilité complémentaire $1-p$;

Contingences

Un contrat qui implémente un paiement seulement en fonction de l’état du monde réalisé est contingent aux états du monde.

E.g. Un assureur ne paie que quand il y a un accident.

Préférences face à l’incertain

Ex.: Tire à pile ou face :

• Si Pile, gagne 100 CHF
• Si Face, perd 100 CHF

On appelle cela un pari juste car la Valeur Espérée (VE) = ${\frac {1}{2}}\times 100+{\frac {1}{2}}\times -100=0$

Cependant, ce pari comporte un risque. Accepteriez-vous un tel pari ?

Trois attitudes face au risque

• Aversion au risque : refuse toujours un pari juste
• Goût pour le risque : accepte toujours un pari juste
• Neutralité face au risque : indifférent entre tous les paris justes (ne tient compte que de la VE)

Préférences face au risque

Pensez en terme de“Loterie”.

• Gain: $\$90$ avec probabilité 1/2 et gagne $\$0$ avec probabilité 1/2.
• $U(\$90)=12$, $U(\$0)=2$.
• Utilité espérée,

$UE={\frac {1}{2}}\times U(\$90)+{\frac {1}{2}}\times U(\$0)={\frac {1}{2}}\times 12+{\frac {1}{2}}\times 2=7$

La valeur espérée de la loterie est, $VE={\frac {1}{2}}\times \$90+{\frac {1}{2}}=\times \$0=\$45$

$UE=7$ et $VE=\$45$.

$U(\$45)>7$ ⇒ $\$45$ avec certitude est préféré à la loterie ⇒ aversion au risque.

$U(\$45)<7$ ⇒ La loterie est préférée aux $\$45$ avec certitude⇒ goût pour le risque.

$U(\$45)=7$ ⇒ l’individu est indifférent ⇒ neutralité au risque.

$U(\$45)>UE$ ⇒ aversion au risque.

L'utilité marginale est décroissante.

$U(\$45)<UE$ ⇒ Goût du risque.

$U(\$45)=UE$ ⇒ neutre au risque.

Assurance

Un agent averse au risque a un revenu $w$ et fait face à une probabilité $p$ de perdre un montant $L$.

Il peut prendre une police d’assurance. Cette assurance lui rembourse un montant a en cas d’accident. Cette police lui coûte $qa$ CHF.

Formellement, l’agent va chercher le montant d’assurance a qui maximise : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V = pu(w - qa - L + a) + (1 - p)u(w - qa)}

La condition de premier ordre donne : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle pu'(w - qa - L + a)(1 - q) - (1 - p)u'(w - qa)q = 0}

Soit, Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {u'(w - qa - L + a)}{u' (w - qa)} = \frac {(1− p)q}{(1 − q) p}} .

Supposons un marché de l’assurance complètement concurrentiel.

Implique : profit espéré = 0.

I.e. Profit espéré = qa – pa +(1 - p)0 = 0

=> Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle q = p}

Si le prix pour 1 CHF d’assurance = la probabilité d’accident, on dit que la police est juste.

Assurance “injuste”

Quand l’assurance est juste, le choix rationnel d’assurance : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {u' (w - qa - L + a)}{u' (w - qa)} = 1} .

Donc l’agent s’assure complètement : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a^* = L} .

Assurance “injuste”

Supposons que les assureurs font un profit économique positif.

I.e. Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle qa - pa = (q - p)a > 0} .

Cela implique que Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle q > p} .

Cela implique que Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a^* < L} .

i.e. les individus averses au risque ne prennent plus une assurance complète.

Les agents n’égalisent plus leur bien être entre les deux états du monde.

Diversification

Deux firmes, A et B. Une action coûte 10 $.

Avec une prob. 1⁄2, les profits de A sont de $100 et B $20.

Avec une prob. 1/2 les profits de A sont de $20 et B $100.

Vous avez 100 $ à investir. Stratégie ?

Si vous achetez seulement de A (ou seulement B).

$100/10 = 10 parts.

Vous gagnez $1000 avec prob. 1/2 et $200 avec prob. 1/2.

Gains espérés : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle $500 + $100 = $600} .

En achetant 5 parts de chaque, vous gagnez $600 avec certitude !

La diversification a conservé la valeur espérée, en éliminant le risque.

Mutualisation

100 personnes neutres au risque font face à une perte potentielle de $10,000.

• Probabilité de perte = 0.01.
• Richesse initiale $40,000.
• Sans assurance, la valeur espérée est 0 ⋅ 99 x $40,000 + 0 ⋅ 01($40,000 − $10,000) = $39,900.

Assurance mutuelle, la perte espérée est 0⋅01 x $10,000 = $100.

Chacune des 100 personnes verse 1$ dans un fonds commun.

$40,000 − $1 = $39,999 > $39,900.

La mutualisation a bénéficié à tous !

Economie Comportementale

• Prospect Theory.
• Aversion aux pertes.
• Illusion du joueur.
• Effet de cadrage...

Prospect Theory

Les agents ont une perception biaisée des probabilités : la probabilité Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p} est transformée en une probabilité Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \pi(p)} .

Typiquement : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \pi(p) > p} pour les faibles valeurs de Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p} (les agents mettent trop de poids sur les faibles probabilités).

Et Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \pi(p) < p} pour les hautes valeurs de Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p} (trop peu de poids sur les hautes probabilités).

Aversion aux pertes

Une personne possédant 1100 CHF et perdant 100 CHF se sent moins satisfait qu’une personne possédant 900CHF et trouvant 100 CHF.

Notion de « point de référence ».

Illusion du joueur (Gambler’s fallacy)

Idée que la probabilité d’un évènement issu d’un tirage aléatoire i.i.d (i.e. jeter une pièce) augmente (ou diminue) après une série d’évènements particulière.

i.e. après 10 «pile» on se dit « la prochaine est face avec 80% de chance » !

Effet de cadrage (Framing Effect)

Tirées de l’étude de Kahneman et Tversky (1981)