Incertitude

L’incertitude

Qu’est-ce qui est incertain en économie ?

• Futurs prix
• Future richesse
• Technologie future
• Actions des autres agents.
• ...

La plupart des individus n’aiment pas l’incertitude et se couvrent :

• Assurance.
• Portefeuilles financiers.

État de la nature

États de la nature possible:

• “accident de voiture” (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a} )
• “pas d’accident de voiture” ($na$).

L’accident arrive avec une proba. $p$, rien ne se passe avec la probabilité complémentaire $1-p$;

Contingences

Un contrat qui implémente un paiement seulement en fonction de l’état du monde réalisé est contingent aux états du monde.

E.g. Un assureur ne paie que quand il y a un accident.

Préférences face à l’incertain

Ex.: Tire à pile ou face :

• Si Pile, gagne 100 CHF
• Si Face, perd 100 CHF

On appelle cela un pari juste car la Valeur Espérée (VE) = ${\frac {1}{2}}\times 100+{\frac {1}{2}}\times -100=0$

Cependant, ce pari comporte un risque. Accepteriez-vous un tel pari ?

Trois attitudes face au risque

• Aversion au risque : refuse toujours un pari juste
• Goût pour le risque : accepte toujours un pari juste
• Neutralité face au risque : indifférent entre tous les paris justes (ne tient compte que de la VE)

Préférences face au risque

Pensez en terme de“Loterie”.

• Gain: $\$90$ avec probabilité 1/2 et gagne $\$0$ avec probabilité 1/2.
• $U(\$90)=12$, $U(\$0)=2$.
• Utilité espérée,

$UE={\frac {1}{2}}\times U(\$90)+{\frac {1}{2}}\times U(\$0)={\frac {1}{2}}\times 12+{\frac {1}{2}}\times 2=7$

La valeur espérée de la loterie est, $VE={\frac {1}{2}}\times \$90+{\frac {1}{2}}=\times \$0=\$45$

$UE=7$ et $VE=\$45$.

$U(\$45)>7$ ⇒ $\$45$ avec certitude est préféré à la loterie ⇒ aversion au risque.

$U(\$45)<7$ ⇒ La loterie est préférée aux $\$45$ avec certitude⇒ goût pour le risque.

$U(\$45)=7$ ⇒ l’individu est indifférent ⇒ neutralité au risque.

$U(\$45)>UE$ ⇒ aversion au risque.

L'utilité marginale est décroissante.

$U(\$45)<UE$ ⇒ Goût du risque.

$U(\$45)=UE$ ⇒ neutre au risque.

Assurance

Un agent averse au risque a un revenu $w$ et fait face à une probabilité $p$ de perdre un montant $L$.

Il peut prendre une police d’assurance. Cette assurance lui rembourse un montant a en cas d’accident. Cette police lui coûte $qa$ CHF.

Formellement, l’agent va chercher le montant d’assurance a qui maximise : $V=pu(w-qa-L+a)+(1-p)u(w-qa)$

La condition de premier ordre donne : Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle pu’(w - qa - L + a)(1 - q) - (1 - p)u’(w - qa)q = 0}

Soit, Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle \frac {u'(w - qa - L + a)}{u' (w - qa)} = \frac {(1− p)q}{(1 − q) p}} .

Supposons un marché de l’assurance complètement concurrentiel.

Implique : Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle profit\ espéré = 0} .

I.e. Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle Profit\ espéré = qa – pa +(1 - p)0 = 0}

=> $q=p$

Si le prix pour 1 CHF d’assurance = la probabilité d’accident, on dit que la police est juste.

Assurance “injuste”

Quand l’assurance est juste, le choix rationnel d’assurance : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {u’ (w - qa - L + a)}{u' (w - qa)} = 1} .

Donc l’agent s’assure complètement : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a* = L} .

Assurance “injuste”

Supposons que les assureurs font un profit économique positif.

I.e. Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle qa – pa = (q - p)a > 0} .

Cela implique que Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle q > p} .

Cela implique que Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a* < L} .

i.e. les individus averses au risque ne prennent plus une assurance complète.

Les agents n’égalisent plus leur bien être entre les deux états du monde.