La rationalité économique

L'hypothèse comportementale de la rationalité nous permet d'affirmer que le consommateur va sélectionner la meilleure alternative possible qui s'offre à lui.

Démarche : Le consommateur doit faire un choix sous contrainte.

Il va sélectionner l'alternative qui lui apporte la plus grande satisfaction étant donné ses contraintes.

Formellement : maximisation de la fonction d'utilité sous la contrainte de budget.

L'ensemble des choix possibles (respectant la contrainte de budget) est l'ensemble des choix.

Où se situe le meilleur choix possible sur le graphique usuel à deux biens ?

Choix rationnel contraint

Le Choix optimal

( $x_{1}^{*},x_{2}^{*}$ ) est le panier préféré parmi ceux que l'agent peut s'offrir.

Choix optimal

Confrontation entre préférences et possibilités

Pourquoi le panier b domine-t-il tous les autres ?

Le panier préféré pour un agent, étant donné les prix et le revenu, est dénoté par ( $x_{1}^{*},x_{2}^{*}$ ).

Il se trouve sur la courbe d’indifférence la plus haute possible, tout en étant sur la contrainte budgétaire

Nous allons utiliser ces propriétés pour le déterminer formellement.

( $x_{1}^{*},x_{2}^{*}$ ) satisfait 2 conditions:

(a) tout le budget est dépensé;

p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}=m

(b) La pente de la droite de budget,

-{\frac {p_{1}}{p_{2}}}

, et la pente de la CI contenant (

x_{1}^{*},x_{2}^{*}

) sont égales à (

x_{1}^{*},x_{2}^{*}

).

Cette information va nous permettre de trouver le panier optimal, étant donné des préférences (une fonction d'utilité), des prix et le revenu.

Exemple

Supposons les préférences suivantes :

U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{b}

Alors :

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_1 = \frac {∂U}{∂ x_1} = \frac {1}{2} x_1^{-\frac {1}{2}} x_2^{\frac {1}{2}}}

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle UM_2 = \frac {∂U}{∂ x_2} = \frac {1}{2} x_1^{\frac {1}{2}} x_2^{-\frac {1}{2}}}

Utilité Cobb-Douglas

Le TMS est égal à :

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle TMS = \frac {dx_2}{dx_1} = - \frac {\frac {∂U}{∂ x_1}}{\frac {∂U}{∂ x_2}} = - \frac {ax_1^{a - 1}x_2^b}{bx_1^ax_2^{b - 1}} = - \frac {ax_2}{bx_1}}

À ( $x_{1}^{*},x_{2}^{*}$ ), $TMS=-{\frac {p_{1}}{p_{2}}}$ soit :

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle - \frac {ax_2}{bx_1} = - \frac {p_1}{p_2} ⇒ x_2^* = \frac {bp_1}{ap_2} x_1^*} (A)

( $x_{1}^{*},x_{2}^{*}$ ) utilise tout le budget :

p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}=m

(B)

Nous savons donc que Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_2^* = \frac {bp_1}{ap_2} x_1^*} (1) en substituant Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_2^*} dans $p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}=m$ (B).

Nous obtenons alors : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p_1x_1^* + p_2 \frac {bp_1}{ap_2} x_1^* = m} .

Ce qui simplifie : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1^* = \frac {am}{(a + b)p_1}}

En substituant Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1^*} dans Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p_1x_1^* + p_2x_2^* = m} , nous obtenons : Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_2^* = \frac {bm}{(a + b)p_2}}

Nous avons donc trouvé que le panier préféré pour un consommateur avec des préférence CB de la forme :

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = x_1^ax_2^b}

est,

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x_1^*, x_2^*) = (\frac {am}{(a +b)p_1}, \frac {bm}{(a + b)p_2})}

Résumé

Une méthode de résolution dans un cas "standard". Il faut utiliser ces deux conditions, toujours vraies à un choix optimal :

(a) Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p_1x_1^* + p_2x_2^* = m}

(b) la pente de la droite de budget, Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle - \frac {p_1}{p_2}} , et de la CI contenant (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1^*, x_2^*} ) sont égales à (Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1^*, x_2^*} ).

Le choix: cas spécifiques

Que se passe-t-il si Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1^* = 0} ?

Si un agent ne consomme que d'un bien (et pas du tout de l'autre) nous disons que le panier optimal est une solution de coin.

Exemple : Substituts Parfaits

Exemple : Compléments Parfaits

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle U(x_1, x_2) = min\{ax_1, x_2\}}

Rappel : Problème de Maximisation

Nous avons vu une première méthode de résolution (par substitution).

Une autre méthode, plus générale, est la méthode dite du multiplicateur de Lagrange.

Le Lagrangien s’écrit comme suit:

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle L = u(x_1, x_2) – λ(p_1x_1 + p_2x_2 – m)}

Le but est de maximiser directement Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle L} , qui contient l’utilité et les contraintes.

Les conditions de premier ordre sont :

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {∂L}{∂x_1} = \frac {∂u}{∂x_1 – λp_1} = 0}

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {∂L}{∂x_2} = \frac {∂u}{∂x_2 – λp_2} = 0}

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {∂L}{∂λ} = p_1x_1 + p_2x_2 – m = 0}

Les deux premières conditions ensemble donnent à nouveau :

Échec de l’analyse (MathML avec SVG ou PNG en secours (recommandé pour les navigateurs modernes et les outils d’accessibilité) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac {\frac {∂u}{∂x_1}}{\frac {∂u}{∂x_2}} = \frac {p_1}{p_2}}